向量低语，矩阵高歌

十年苦旅入迷途，面对矩阵心若无。错将强记作舟楫，终陷符号泥潭枯。

一朝顿悟空间变，始见几何天地殊。向量低语传真意，豁然心开万里舒。

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如果说概率统计是推开机器学习大门的一块基石，那么线性代数，毫无疑问，就是支撑起这座宏伟大厦的钢筋骨架。在磕磕绊绊地迈过了概率统计那道坎之后，我以为前方的路会平坦一些，但现实很快就给了我一个打击，线性代数这座大山，其陡峭和险峻，远超我的想象，尤其对于我这种生物学背景半路出家的人来说，简直是一场噩梦般的挑战。

回想起那段自学线性代数的经历，真是充满了曲折和挣扎，甚至可以说是屡战屡败、屡败屡战。这门学科的抽象性常常让我感到云里雾里，那些看似毫无关联的定义、定理和运算，像一堆散乱的零件，怎么也拼凑不出一个清晰的图像。老实说，学习线性代数的难度，远比最初学习 Python 编程，或者调用现成的库去跑一个机器学习模型要大得多，完全不是一个量级的。

我在与线性代数这场旷日持久的战斗中，一路摸爬滚打，最终找到一丝曙光。这其中有太多次的迷茫、沮丧，也有恍然大悟的瞬间。

我想先聊聊我对学习机器学习和深度学习的一个粗浅理解，或许可以作为我们理解线性代数重要性的一个引子。我大致觉得，这个学习过程可以分为六个层级：

第一层，是彻底的小白。看到别人谈论机器学习、深度学习，满眼都是崇拜，觉得那些术语和模型高深莫测，自己完全是不明觉厉。

第二层，算是入了门。对一些基本概念，比如线性回归、分类、聚类什么的，大概知道是怎么回事。看一些相关的报告、博客或者论文，能勉强跟上思路，不再是两眼一抹黑。

第三层，是初级选手。能够动手用一些常见的库，比如 Scikit-learn 或 XGBoost，去解决一些相对简单、典型的问题。对于很多生物信息学领域的问题，掌握到这个程度，其实已经能处理不少数据了。

第四层，可以算是中级玩家了。开始接触并使用一些深度学习模型，比如 CNN、RNN 等，来处理更复杂一些的问题。达到这个层次，可以说在实际工作中，绝大部分非研发岗位的机器学习任务都能应付了。找一份相关的工作，只要不是追求顶尖算法研究，通常问题不大。

第五层，就进入了高级领域。这个阶段，不仅仅是会用模型，更重要的是能够根据实际问题的特性，去修改现有模型，甚至开发新的模型。这就开始真正考验内功了。为什么这么说呢？因为现实世界的问题千变万化，一个模型套用在所有场景下，效果可能不错，但往往不是最优解。想要真正把一个特定问题解决好，就需要深入理解问题的本质，进而对模型进行定制化的调整。而这种能力，离不开对背后数学原理，尤其是线性代数的深刻理解。

第六层，在我看来，近乎大神的境界了。我将其描述为“解决问题靠直觉”。这不是玄学，而是长期知识、经验积累后，内化于心的一种洞察力。遇到一个新问题，有时能直觉地感受到症结所在，一针见血地找到解决方案。这种直觉，背后是无数理论与实践的沉淀。

铺垫了这么多，其实就是想说明一点：随着对机器学习、深度学习的探索越来越深入，对底层原理的理解就变得越来越重要。而线性代数，正是这底层原理的核心支柱。

这让我想起了我读本科时的一段经历。学生物的，进实验室的第一课，往往是学习怎么抽提质粒 DNA。老师会给一份实验步骤（protocol），告诉我第一步加什么试剂，离心几分钟；第二步做什么操作，再离心多久……就像一份说明书，照着做就行。这很像我们刚才说的第三、四层学习者，会用工具，能得到结果，但不一定明白为什么这么做。

当时我性子急，觉得抽提过程太漫长，总想优化一下。心想，这个试剂看起来没什么用，省略掉；那个离心十分钟，我看一分钟也差不多。结果呢？一通“猛如虎”的操作下来，最后得到的离心管里空空如也，什么都没抽到。

这个小小的失败给我上了一课：会用工具和真正理解工具，是两码事。不明白每一步操作背后的生物化学原理，自作聪明的优化只会适得其反。同样，在机器学习领域，可以熟练地调用各种库和模型，但如果不理解线性代数这些基础，就永远停留在“会用”的层面，无法真正理解和创造。每当想要深入探究模型的内部机制，想要改进算法，或者想理解那些看似复杂的数学推导时，我都会发现，线性代数就像一个绕不开的守门员，稳稳地站在那里。

所以，如果真的想在这个领域有所建树，想从调包侠进阶到能够理解甚至创造模型的层次，那么，硬着头皮啃下线性代数这块硬骨头，是必经之路。

那么，这块硬骨头到底该怎么啃呢？

说来惭愧，我接触线性代数其实很早。高中学的解析几何，里面向量的部分就已经有它的影子了。本科虽然学生物，学校也开了线性代数课，学了一遍。后来读研究生、博士，又陆陆续续接触了几次。但老实说，直到博士快毕业，我都没觉得自己真正弄懂了它到底是个什么东西。反反复复学了这么多遍，感觉就像在一个迷宫里转圈，始终找不到出口。

毕业工作后，因为项目需要大量使用深度学习，我又不得不重新捡起线性代数，开始新一轮的自学。我找来了各种经典的教材、网上备受推崇的课程，一遍又一遍地看，一道又一道地推导。但很长一段时间里，那种懂了的感觉，依然遥不可及。

直到最近，在接触了一些新的学习资料，并且不断反思过去的学习方法之后，我才感觉自己脑子里那些零散的知识点，终于开始慢慢连接起来，对线性代数有了一点入门的感觉。

我开始反思：为什么我花了那么多年，反复学了那么多次，始终不得要领呢？

痛定思痛，我总结出血泪教训：

学习线性代数，最最最重要的一点，就是：彻底抛弃死记硬背！

为什么我之前学不好？很大程度上，跟我学生物的学习习惯有关。生物学，某种意义上说，带有很强的文科色彩，很多知识需要依赖记忆。比如，需要记住复杂的信号通路，记住各种生物分子的名称和功能，记住不同物种的分类特征……考试很大程度上也是在考察记忆力。

这种长期养成的学习惯性，在我学习线性代数时，不自觉地就带了过来。看到公式，第一反应是背下来；看到定理，下意识地去记条件和结论；看到计算步骤，努力去模仿和记忆。结果呢？公式背了一大堆，转头就忘；定理记住了，却不知道怎么用；计算过程倒是模仿会了，但稍微变个形就傻眼。

这就像我当年抽提质粒，只记住了步骤，却不理解原理一样。这种学习方式，对于理解线性代数的精髓，几乎是南辕北辙。

所以，请务必记住：

第一，绝对不要花时间去死记硬背公式和定理。

第二，绝对不要去死记硬背各种计算过程和技巧。

那么，不靠记忆，靠什么？

答案是：理解！理解！理解！

理解什么？理解线性代数每一个概念、每一个操作背后的几何意义！

这才是打开线性代数大门的钥匙！

线性代数的本质，其实异常简洁，就是两个核心概念：空间（Space）和变换（Transformation）。所看到的所有矩阵、向量、特征值、特征向量等等，几乎所有的概念，都是围绕着这两个核心展开的。矩阵可以看作是空间变换的一种描述，向量则是空间中的一个点或一个方向。线性代数的运算，本质上就是对空间进行各种各样的变换，比如旋转、缩放、投影、剪切等等。

当学习一个新概念，比如“行列式”，不要去记它那一长串让人头晕的代数计算公式，而去想：行列式在几何上代表什么？它代表了经过矩阵变换后，空间面积或体积变化的比例。当行列式为零，意味着变换将空间压缩到了更低的维度（比如把一个平面压成了一条线）。

当学习“特征向量”和“特征值”，不要只记它们的定义和计算方法，而去想：特征向量是什么？它们是在某个矩阵所描述的空间变换下，方向保持不变的向量。特征值呢？它代表了这些不变的向量，在变换中被拉伸或压缩的比例。

只要能把每一个抽象的代数概念，都找到它对应的、直观的几何图像，把它们在脑海中可视化，那么线性代数就不再是面目可憎的符号游戏，而变成了一场生动有趣的空间变换之旅。

这时候，再去看那些机器学习和深度学习的模型，就会发现，它们本质上也是在做空间变换。输入数据可以看作是高维空间中的点，模型的作用就是通过一系列复杂的线性变换（矩阵乘法）和非线性变换（激活函数），把这些点映射到另一个空间，最终实现分类或回归等任务。

所以，当真正理解了线性代数的几何本质，对机器学习的理解也会提升到一个全新的层次。很多复杂的算法和模型，其核心思想都与线性代数中的空间变换息息相关。

基于这样的认识，我回顾了过去接触过的学习资料，发现很多备受推崇的经典，对我个人而言，在建立几何直觉的初期阶段，帮助并不大。

比如，很多人推荐的《Linear Algebra Done Right》。这本书我买了，也反复看了不下五遍。书写得确实不错，逻辑严谨，但我觉得它在阐述几何本质方面，虽然有所涉及，但还不够透，有点隔靴搔痒的感觉。对于初学者，尤其是像我这样需要强烈几何直观感受的人来说，可能不是最佳入门选择。

还有 MIT 的 Gilbert Strang 教授的公开课和教材。Strang 教授无疑是大师级人物，他的课影响了无数人。我也曾利用暑假看过他的视频课。但个人感觉，他的视频节奏偏慢（我开两倍速都觉得慢），而且课程中有些内容（比如花了大量时间讲行列式的计算细节）与我后来学习机器学习、深度学习关联性不是特别强，至少在侧重几何理解这个角度上，不是我最需要的东西。

当然，这只是我个人非常主观的感受，没有任何不敬的意思。这些经典的教材和课程，在对线性代数有了基本的几何概念之后，再去深入学习，一定会大有裨益。

但如果是线性代数的小白，或者像我之前那样屡学屡败，迫切需要建立起几何直观，那我强烈推荐以下几份资料，它们在我“顿悟”的过程中起到了至关重要的作用：

第一份，入门首推：李宏毅老师的线性代数课程。

他讲课非常有激情，而且特别注重讲解线性代数概念背后的直观含义和应用背景。他不会一上来就扔出一堆定理和证明，而是从非常基础的概念讲起，用很多形象的例子帮助理解。我觉得这门课对于完全没有基础，或者像我一样基础薄弱但想重新建立正确认知的人来说，是绝佳的入门材料。跟着他的课程走一遍，基本上就能对线性代数的主要内容和核心思想有一个比较全面的认识，而且是以一种更偏向理解而非记忆的方式。

第二份，建立几何直观的神器：3Blue1Brown 的《线性代数的本质》系列视频。

如果只想快速抓住线性代数的几何核心，那这个系列绝对不容错过！博主 Grant Sanderson 用极其精美的动画，将线性代数中那些最核心、最抽象的概念，比如向量、线性组合、基变换、矩阵乘法、行列式、特征向量等等，都用可视化、几何化的方式呈现出来。他几乎没有讲任何复杂的计算，纯粹是用图像告诉你：线性代数，就是在玩空间和变换的游戏。看完这个系列，你会有一种醍醐灌顶的感觉：“哦！原来矩阵乘法是这样变换空间的！”“原来特征向量是这个意思！”强烈建议在学习了李宏毅老师的课程有一定基础后，再来看这个系列，两者结合，效果拔群。

第三份，结合代码实践：国内的一本书《机器学习线性代数基础：Python语言描述》。

它的优点在于，也是从几何意义的角度来讲解线性代数的核心概念，并且结合了 Python 代码实例。通过代码去实现和验证一些线性代数的运算和概念，对于加深理解非常有帮助。可以直观地看到代码如何将抽象的数学概念转化为具体的计算和可视化结果。不过，需要稍微注意一点，这本书里可能存在一些小的印刷或笔误，阅读时需要稍微甄别一下。但总体来说，作为辅助理解和实践的材料，是相当不错的。

这些资料，尤其是李宏毅老师的课程和 3Blue1Brown 的视频，看一遍可能是不够的。因为线性代数的知识点是高度关联的，初学时往往只见树木不见森林。反复多看几遍，随着脑海中积累的几何图像越来越多，知识点之间的联系越来越清晰，才能逐渐构建起一个完整的认知体系。

所以，再次总结一下我的核心建议：

• 忘记死记硬背，拥抱几何直观。 花时间去理解每个概念（向量、矩阵、行列式、特征值等）对应的空间和变换含义。

• 善用可视化工具。 3Blue1Brown 的视频是极好的例子，努力在脑海中“播放”这些几何变换。

• 建立联系。线性代数的知识是相互关联的，学习时要思考它们之间的联系，而不是孤立地看待每个知识点。

• 当真正理解了线性代数，看到一个公式或概念时，脑海中浮现的应该是一幅动态的几何图像，而不是一堆冰冷的符号或计算步骤。比如，看到矩阵乘法，想到的是空间的旋转、缩放、剪切；看到特征向量，想到的是变换中那些“不变”的方向。

从高中第一次接触，到反反复复十余年的死磕，再到最终找到一丝理解的曙光，我在线性代数这条路上走得异常艰难，但正是这段经历让我深刻体会到理解基础原理的重要性，当真正跨过了这道坎，我看待机器学习和深度学习的视角就豁然开朗。

回顾这段从迷茫到清晰、从死记硬背的弯路到拥抱几何直观正途的转变历程，线性代数曾是我眼中的拦路虎，抽象的符号和繁杂的计算一度让我望而却步，然而当我转换思路不再执着于记忆，而是努力理解其背后空间与变换的内涵时，这门学科逐渐展现出它优雅而强大的本质；

希望我的这段坎坷经历和心得能为你攀登线性代数这座大山提供助力和信心，这条路或许不易但风景独好，坚持下去你终将领略到向量低语、矩阵高歌的奥妙。